Teoрия семплироваания

Appearance

Глава 2. Преобразование Фурье ​

«Любой звук, каким бы сложным он ни был, можно собрать из простых синусоид. Эта идея лежит в основе почти всей современной цифровой обработки сигналов.»

🎯 После этой главы вы сможете ​

  • понять основную идею преобразования Фурье;
  • узнать, почему любой звук можно разложить на простые волны;
  • разобраться, зачем это вообще нужно;
  • подготовиться к изучению FFT.

Представьте оркестр ​

Закройте глаза.

Перед вами играет симфонический оркестр.

Вы слышите:

  • скрипки;
  • виолончели;
  • флейты;
  • трубы;
  • ударные.

Но ваши уши каким-то образом способны различать каждый инструмент.

Хотя все они звучат одновременно.

Как это возможно?

А теперь представьте компьютер ​

Компьютер получает всего одну звуковую волну.

Она выглядит примерно так:

text
      /\      /\/\       /\
_____/  \____/    \_____/  \____

Для него это просто длинная последовательность чисел.

Возникает вопрос.

Из каких звуков состоит эта сложная волна?

Идея Фурье ​

В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье предложил революционную мысль.

Любой периодический сигнал можно представить как сумму синусоид разной частоты, амплитуды и фазы.

Это означает,

что даже самая сложная звуковая волна может быть разложена на множество простых.

Что такое синусоида? ​

Синусоида — это самая простая звуковая волна.

Она выглядит идеально плавной.

text
      /‾‾\      /‾‾\
_____/    \____/    \____

Она содержит только одну частоту.

Без гармоник.

Без дополнительных оттенков.

Именно поэтому синусоиду часто называют «строительным кирпичиком» звука.

Построим сложный звук ​

Представьте три синусоиды.

Первая:

text
~~~~~~

Вторая:

text
~~~~~~~~~~~~

Третья:

text
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Если сложить их вместе,

получится новая,

намного более сложная форма.

Именно так рождаются реальные музыкальные сигналы.

Но самое удивительное... ​

Работает и обратное.

Если сложную волну можно собрать из синусоид,

значит её можно и разобрать обратно.

Именно это и называется

преобразованием Фурье.

Зачем это нужно? ​

Представим,

что мы получили запись гитары.

На слух мы понимаем,

что в ней есть:

  • низкие частоты;
  • средние;
  • высокие.

Но компьютер этого не знает.

Для него это просто числа.

Преобразование Фурье позволяет ответить на вопрос:

Какие частоты присутствуют в этом сигнале и насколько они громкие?

От временной области к частотной ​

До сих пор мы смотрели на звук во времени.

text
Амплитуда

│
│      /\      /\
│_____/  \____/  \____

──────────────→ Время

После преобразования Фурье тот же сигнал можно представить иначе.

text
Амплитуда

│        █
│    █   █
│ █  █   █     █

────────────────────→ Частота

Теперь вместо формы волны мы видим её спектр.

Именно поэтому существуют анализаторы спектра ​

Когда вы открываете SPAN, MiniMeters или любой другой спектральный анализатор,

он не «видит» звук напрямую.

Он постоянно выполняет преобразование Фурье и показывает результат в виде спектра.

То есть отображает,

из каких частот состоит текущий сигнал.

Где ещё используется преобразование Фурье? ​

Практически везде:

  • анализаторы спектра;
  • эквалайзеры;
  • шумоподавление;
  • питч-коррекция;
  • восстановление аудио;
  • обработка речи;
  • аудиокодеки;
  • медицинские приборы;
  • обработка изображений;
  • радиосвязь.

Это один из самых важных математических инструментов современной инженерии.

Важно понимать ​

Преобразование Фурье не изменяет звук.

Оно лишь отвечает на вопрос:

Из каких частот состоит этот сигнал?

Это инструмент анализа, а не эффект.

Что должен понять продюсер ​

Когда вы смотрите на спектроанализатор,

вы видите не сам звук,

а результат преобразования Фурье.

Каждый пик на экране соответствует определённой частоте,

а его высота показывает её уровень.

Итоги главы ​

✅ Любой сложный звук можно представить как сумму простых синусоид.

✅ Эту идею предложил Жозеф Фурье.

✅ Преобразование Фурье переводит сигнал из временной области в частотную.

✅ Благодаря этому можно увидеть, из каких частот состоит звук.

✅ Именно эта идея лежит в основе большинства современных DSP-алгоритмов.

Что дальше? ​

В следующей главе мы узнаем, почему классическое преобразование Фурье слишком медленное для работы в реальном времени.

И познакомимся с алгоритмом FFT (Fast Fourier Transform) — одним из самых известных и важных алгоритмов в истории вычислительной техники.